Das Dreieck-Rätsel
Ein faszinierendes Rätsel:
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on Monday, December 20th, 2004 at 09:58 and is filed under Fun.
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Ich komme nicht dadrauf, wie die Loesung ist? Warum ist es glaich gross, aber ein Kaestchen weniger? Das is ein wircklich toles und raetselhafte Raetsel.
Also, wie es aussieht, gibt es hier eine kleine optische Täuschung! Das große Dreieck ist nämlich gar keins, denn die Hypothenuse hat einen Knick und zwar einmal nach innen und einmal nach außen, jeweils dort, wo die kleinen Dreiecke aufeinanderstoßen. Das kann man sehen, wenn man an der Hypothenuse entlanggeht bzw. einen Dreieck anlegt.
Etwas analytischer:
Flächenbetrachtung des kleinen Dreiecks:
- orangene Flächen: 7 Einheiten (E)
- blaue Flächen: 8 E
- grünes Dreieck: (8×3)/2 = 12 E
- rotes Dreieck: (2×5)/2 = 5 E
=> Somit ergibt sich: 7+8+12+5 = 32 E
Flächenbetrachtung des großes Dreiecks:
(13×5)/2 = 32,5 E Da kann doch was nicht stimmen…
Da sich die Größen der 4 Flächen tatsächlich nicht ändern, muß wohl die 32,5 falsch sein. Andererseits ist die Flächenberechnung für das große Dreieck korrekt. Also ist offensichtlich die Annahme falsch, daß die große Fläche ein Dreieck ist. Eine mögliche Bestätigung dieser These geht über die Winkel der beiden Dreiecke: Seien a und b die Winkel unten links des roten bzw. grünen Dreiecks.
Dann gilt:
- tan(a)=3/8=1/2,666 und tan(b)=2/5=1/2,5
Also tan(a) ungleich tan(b) und daher a ungleich b. Wenn aber a ungleich b, dann hat die vermeintliche Hypothenuse den oben genannten Knick und die große Fläche ist kein Dreieck.
Die obere Fläche hat 32 E und die unteren Fläche 33 E. Also lässt sich die Unterschiedliche Fläche auf die unterschiedliche Steigung der Dreiecke zurückführen